В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: 
SC = 29. 
— середина ребра 
.
а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.
а) Проекция точки S на плоскость основания это точка O — центр основания. Центр правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому 
. Прямая проецируется на плоскость основания и прямую 
Поэтому проекция точки — точка 
— лежит на отрезке M — середина AS, поэтому ее проекция — это середина отрезка AO. Таким образом, проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) Прямая проектируется на плоскость основания в прямую Поэтому проекция точки — точка — лежит на отрезке Значит, прямая 
является проекцией прямой 
следовательно, угол 
— искомый. Заметим, что 
где 
— центр основания, значит, 
— средняя линия треугольника 
а поэтому — середина 
Тогда
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ:
