Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 507636

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 система выражений  новая строка |x плюс 2y плюс 1| меньше или равно 11, новая строка (x минус a) в степени 2 плюс (y минус 2a) в степени 2 =2 плюс a конец системы

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений  новая строка минус 12 меньше или равно x плюс 2y меньше или равно 10, новая строка (x минус a) в степени 2 плюс (y минус 2a) в степени 2 =2 плюс a. конец системы

Неравенство  минус 12 меньше или равно x плюс 2y меньше или равно 10 задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: x плюс 2y=10 и x плюс 2y= минус 12.

Если a меньше минус 2, то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если a= минус 2, то уравнение принимает вид: (x плюс 2) в степени 2 плюс (y плюс 4) в степени 2 =0 и задаёт единственную точку ( минус 2; минус 4), координаты которой удовлетворяют неравенству: | минус 2 минус 8 плюс 1|=9 меньше 11. Следовательно, при a= минус 2 система имеет единственное решение.

Рассмотрим случай a больше минус 2. Тогда уравнение (x минус a) в степени 2 плюс (y минус 2a) в степени 2 =2 плюс a определяет окружность радиусом  корень из { 2 плюс a}. Центр M(a;2a) окружности лежит на прямой y=2x, которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках A( минус 2,4; минус 4,8) и B(2;4). Система имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке A или в точке B. Если точка касания — A, то a меньше минус 2,4, что невозможно. Окружность касается полосы в точке B, только если a больше 2 и MB=r. Получаем:

(a минус 2) в степени 2 плюс (2a минус 4) в степени 2 =2 плюс a равносильно 5a в степени 2 минус 21a плюс 18=0 равносильно совокупность выражений  новая строка a=3, новая строка a=1,2. конец совокупности .

Условию a больше 2 удовлетворяет только корень a=3.

 

Ответ: −2; 3.


Аналоги к заданию № 507636: 507648 510583 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение окружности
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Никита Селихов 02.06.2015 22:56

Простите. А можно объяснить откуда исходит условие a>2 ?

Александр Иванов

Центр окружности должен лежать правее точки В, т.е. абсцисса центра окружности (a) должна быть больше абсциссы точки В (2)

Алексей Семенов 31.05.2016 17:32

Не могли бы вы пояснить, почему центр окружности лежит на прямой y=2x?

Константин Лавров

Потому, что центр имеет координаты (a, 2a) для всех возможных a.

Валерий Григорьев 10.04.2017 20:48

Окружность нулевого радиуса не является окружностью, в крайнем случае - вырожденной окружностью.

С точки зрения вики https://ru.wikipedia.org/wiki/Окружность цитата "окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.". То есть, принято её не рассматривать как окружность.

Главный вопрос - если ученик не учёл, окружность нулевого радиуса, это является ошибкой? Ведь предмет вопроса "окружность это или нет" находится за пределами школьной программы, получается, что будет верным, как если он укажет такое значение "а" или не укажет.

Александр Иванов

Валерий, обратите внимание, что в формулировке задания нет ни слова об окружности. Просят решить систему. Если ученик не дал полного ответа на вопрос, то, конечно, это будет ошибкой.