ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 507661 Добавить в вариант

Решите неравенство

$дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: (x плюс 1) в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 6x плюс 9, знаменатель: (x минус 1) в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: (2x в квадрате плюс x плюс 5) в квадрате , знаменатель: 2(x в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену: $a= дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,b= дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби .$ Тогда

$a плюс b= дробь: числитель: (x минус 1)(x минус 2) плюс (x плюс 1)(x плюс 3), знаменатель: (x плюс 1)(x минус 1) конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате плюс x плюс 5, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби .$

Неравенство принимает вид: $a в квадрате плюс b в квадрате меньше или равно дробь: числитель: (a плюс b) в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда

$a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в квадрате меньше или равно 0.$

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $a=b.$ Получаем:

$дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2 = x в квадрате плюс 4x плюс 3 равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

Ответ: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к неравенству $дробь: числитель: (7x плюс 1) в квадрате , знаменатель: (x в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби меньше или равно 0,$ откуда также получается ответ $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 507658: 507661 510233 Все

Классификатор алгебры: Рациональные неравенства

Методы алгебры: Замена — сумма или разность

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.2 Рациональные неравенства, 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Tyoma Kozlov 15.01.2017 11:53

Опять же, каким образом самому дойти до того, что А + Б равно второй части неравенства, поделенное на 2?

Ну, т.е., какие преобразования нужно проделать? Я понять логику этих задач не могу. Просто, основываясь ни на чем. вы делаете такие манипуляции с переменными, в следствии чего получается то, что нам нужно.

Как это объясняется?

Александр Иванов

Уважаемый Tyoma!

Почитайте ВНИМАТЕЛЬНО, то что написано.

В первых двух строчках решения есть ответ на Ваш вопрос (нужно сложить А и Б).

А почему, именно, сложить? - Интуиция)))

Tyoma Kozlov 15.01.2017 14:39

Я не отрицаю этого, что тут это указанно, просто никаких предпосылок, говорящих о том, что А + Б равняется тому-то не было, с точки зрения школьника, решающего это задание на экзамене не было. Оно просто, так сказать, появилось из неоткуда. Или вы предлагаете прорешивать абсолютно все варианты с переменными, надеясь на то, что где-то, да повезет?

Александр Иванов

Предпосылка была. Это знаменатели...

Знаменатель правой части получается из произведения знаменателей левой части...

Такое может получится при сложении, вычитании или произведении дробей.... Не так уж много вариантов

И еще раз напишу... ИНТУИЦИЯ...

Если с этим проблемы, то всегда есть способ указанный в примечании. Он более "в лоб"