Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507661

Решите неравенство

 дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс 4, знаменатель: (x плюс 1) в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 6x плюс 9, знаменатель: (x минус 1) в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: (2x в квадрате плюс x плюс 5) в квадрате , знаменатель: 2(x в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену: a= дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,b= дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби . Тогда

a плюс b= дробь: числитель: (x минус 1)(x минус 2) плюс (x плюс 1)(x плюс 3), знаменатель: (x плюс 1)(x минус 1) конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате плюс x плюс 5, знаменатель: x в квадрате минус 1 конец дроби .

Неравенство принимает вид: a в квадрате плюс b в квадрате меньше или равно дробь: числитель: (a плюс b) в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , откуда

a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в квадрате меньше или равно 0.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда a=b. Получаем:

 дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 1 конец дроби равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2 = x в квадрате плюс 4x плюс 3 равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Ответ:  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к неравенству  дробь: числитель: (7x плюс 1) в квадрате , знаменатель: (x в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби меньше или равно 0, откуда также получается ответ x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 507658: 507661 510233 Все

Классификатор алгебры: Рациональные неравенства
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Tyoma Kozlov 15.01.2017 11:53

Опять же, каким образом самому дойти до того, что А + Б равно второй части неравенства, поделенное на 2?

Ну, т.е., какие преобразования нужно проделать? Я понять логику этих задач не могу. Просто, основываясь ни на чем. вы делаете такие манипуляции с переменными, в следствии чего получается то, что нам нужно.

 

Как это объясняется?

Александр Иванов

Уважаемый Tyoma!

Почитайте ВНИМАТЕЛЬНО, то что написано.

В первых двух строчках решения есть ответ на Ваш вопрос (нужно сложить А и Б).

А почему, именно, сложить? - Интуиция)))

Tyoma Kozlov 15.01.2017 14:39

Я не отрицаю этого, что тут это указанно, просто никаких предпосылок, говорящих о том, что А + Б равняется тому-то не было, с точки зрения школьника, решающего это задание на экзамене не было. Оно просто, так сказать, появилось из неоткуда. Или вы предлагаете прорешивать абсолютно все варианты с переменными, надеясь на то, что где-то, да повезет?

 

Александр Иванов

Предпосылка была. Это знаменатели...

Знаменатель правой части получается из произведения знаменателей левой части...

Такое может получится при сложении, вычитании или произведении дробей.... Не так уж много вариантов

И еще раз напишу... ИНТУИЦИЯ...

Если с этим проблемы, то всегда есть способ указанный в примечании. Он более "в лоб"