Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507658

Решите неравенство

 дробь: числитель: x в квадрате минус 2x плюс 1, знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 1, знаменатель: (x минус 3) в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: (2x в квадрате минус x плюс 5) в квадрате , знаменатель: 2(x плюс 2) в квадрате (x минус 3) в квадрате конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену: a= дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби ,b= дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби . Тогда

a плюс b= дробь: числитель: (x минус 1)(x минус 3) плюс (x плюс 1)(x плюс 2), знаменатель: (x плюс 2)(x минус 3) конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате минус x плюс 5, знаменатель: (x плюс 2)(x минус 3) конец дроби .

Неравенство принимает вид: a в квадрате плюс b в квадрате меньше или равно дробь: числитель: (a плюс b) в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , откуда

a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в квадрате меньше или равно 0.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда a=b. Получаем:

 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби = дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби равносильно x в квадрате минус 4x плюс 3 = x в квадрате плюс 3x плюс 2 равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к  дробь: числитель: (7x минус 1) в квадрате , знаменатель: (x плюс 2) в квадрате (x минус 3) в квадрате конец дроби меньше или равно 0, откуда также получается ответ x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Приведем решение Наиля Мусина для нахождения нулей числителя.

Выполним преобразования:

 дробь: числитель: x в квадрате минус 2x плюс 1, знаменатель: (x плюс 2) в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x плюс 1, знаменатель: (x минус 3) в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: (2x в квадрате минус x плюс 5) в квадрате , знаменатель: 2(x плюс 2) в квадрате (x минус 3) в квадрате конец дроби равносильно
 равносильно дробь: числитель: 2(x минус 1) в квадрате (x минус 3) в квадрате плюс 2(x плюс 1) в квадрате (x плюс 2) в квадрате минус (2x в квадрате минус x плюс 5) в квадрате , знаменатель: 2(x плюс 2) в квадрате (x минус 3) в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно
 равносильно дробь: числитель: 2(x в квадрате минус 4x плюс 3) в квадрате плюс 2(x в квадрате плюс 3x плюс 2) в квадрате минус (2x в квадрате минус x плюс 5) в квадрате , знаменатель: 2(x плюс 2) в квадрате (x минус 3) в квадрате конец дроби меньше или равно 0.

Для нахождения нулей числителя сделаем замену a=x в квадрате минус 4x плюс 3, b=x в квадрате плюс 3x плюс 2. Заметим, что

2x в квадрате минус x плюс 5=(x в квадрате минус 4x плюс 3) плюс (x в квадрате плюс 3x плюс 2)=a плюс b.

для нахождения нулей числителя решим уравнение:

2a в квадрате плюс 2b в квадрате минус (a плюс b) в квадрате =0 равносильно (a минус b) в квадрате =0.

Возвращаясь к исходным переменным, получим

x в квадрате минус 4x плюс 3=x в квадрате плюс 3x плюс 2 равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 507658: 507661 510233 Все

Классификатор алгебры: Рациональные неравенства
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Татьяна Быкова 04.06.2016 16:00

Здравствуйте, объясните пожалуйста по-другому я не понимаю этого решения, лучше через второй способ тождественных преобразований

Константин Лавров

Тут можно посочувствовать, так как, эта задача именно на то, что сказано в решении. Либо, в крайнем случае, на умение правильно сделать, те самые, тождественные преобразования.

Вадим Иевлев 26.02.2017 16:13

У меня вопрос. С каких это пор решением неравенства является одно число? Вообще-то, промежуток должен быть в ответе.

Александр Иванов

С каких именно пор ответить трудно, но очень давно... Вероятно, ещё до Большого взрыва в тот поистине чудесный момент, когда из квантовой пены появилось на свет неравенство x в квадрате \le0.