Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507676

Решите неравенство:  дробь: числитель: логарифм по основанию 4 (2 в степени x минус 1), знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Пусть y=2 в степени x минус 1, тогда x= логарифм по основанию 2 (y плюс 1), и неравенство принимает вид

 дробь: числитель: логарифм по основанию 4 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 (y плюс 1) минус 1 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 y минус логарифм по основанию 2 (y плюс 1) плюс 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 (y плюс 1) минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 дробь: числитель: 4y, знаменатель: (y плюс 1) в квадрате конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: y плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби меньше или равно 0.

Перейдём к системе неравенств:

 система выражений  новая строка дробь: числитель: дробь: числитель: 4y, знаменатель: (y плюс 1) в квадрате конец дроби минус 1, знаменатель: дробь: числитель: y плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 конец дроби меньше или равно 0, новая строка y плюс 1 больше 0, новая строка y больше 0 конец системы равносильно система выражений  новая строка минус дробь: числитель: y в квадрате минус 2y плюс 1, знаменатель: (y плюс 1) в квадрате (y минус 1) конец дроби меньше или равно 0, новая строка y больше 0. конец системы равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: (y минус 1) в квадрате , знаменатель: (y плюс 1) в квадрате (y минус 1) конец дроби больше или равно 0, новая строка y больше 0. конец системы равносильно y больше 1.

Вернёмся к исходной переменной, тогда: 2 в степени x минус 1 больше 1 равносильно 2 в степени x больше 2 равносильно x больше 1.

 

Ответ: (1; плюс принадлежит fty).

 

Приведём другое решение.

Перенесём 1 в левую часть, приведём выражения к общему знаменателю, получим неравенство

 дробь: числитель: логарифм по основанию 4 (2 в степени x минус 1) минус (x минус 1), знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше или равно 0.

Применим обобщённый метод интервалов. Область определения неравенства задаётся условием 2 в степени x больше 1, откуда x больше 0.Корнем знаменателя является число 1. Найдём корни числителя:

 логарифм по основанию 4 (2 в степени x минус 1) = x минус 1 равносильно 2 в степени x минус 1 = 4 в степени (x минус 1) равносильно 4 в степени x минус 4 умножить на 2 в степени x плюс 4 =0 равносильно (2 в степени x минус 2) в квадрате =0 равносильно 2 в степени x =2 равносильно x=1.

Выясним, знаки неравенства на промежутках (0; 1) и (1; +∞), взяв пробные точки.

Пусть x=2, тогда знаменатель положителен, числитель равен  логарифм по основанию 4 (2 в квадрате минус 1) минус (2 минус 1) = логарифм по основанию 4 3 минус 1 = логарифм по основанию 4 3 минус логарифм по основанию 4 4. Полученное выражение отрицательно, поэтому на промежутке (1; +∞) дробь отрицательна.

Пусть x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , тогда знаменатель отрицателен, числитель равен

 логарифм по основанию 4 (2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1) минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 ( корень из 2 минус 1) минус логарифм по основанию 4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Полученное выражение отрицательно, поскольку  корень из 2 меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби }, поэтому на на промежутке (0; 1) дробь положительна.

Нанесём область определения, найденные корни и знаки неравенства на числовую прямую (см. рис.) и выпишем ответ: (1; +∞).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 507676: 511468 Все

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены