Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 507794

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, AC=10 корень из 3. Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1.

а) CE − высота треугольника ABC. Докажите, что угол B_1EC − прямой.

б) Найдите высоту призмы.

Спрятать решение

Решение.

 

а) Введём обозначения, как показано на рисунке. CE − перпендикуляр к плоскости ABA_1, поэтому, по определению, CE перпендикулярен всем прямым в этой плоскости, в том числе и прямой B_1E.

 

б) По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. B_1E — проекция прямой B_1C на плоскость AA_1B_1, следовательно, угол CB_1E — угол между наклонной CB_1 и плоскостью AA_1B_1, значит, этот угол равен 30°. Из прямоугольного треугольника ABC:

BC=AC тангенс \angle BAC=10 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби =10.

Углы BAC и BCE равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника BEC находим:

BE=BC синус \angle BCE=10 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =5,CE=BC косинус \angle BCE=10 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =5 корень из 3.

Обозначим искомое расстояние x. Из прямоугольного треугольника BB_1C по теореме Пифагора: CB_1= корень из x в квадрате плюс 100. Из прямоугольного треугольника BB_1E по теореме Пифагора: B_1E= корень из x в квадрате плюс 25. Применим теорему косинусов для треугольника B_1CE: EC в квадрате =CB_1 в квадрате плюс B_1E в квадрате минус 2 умножить на B_1E умножить на CB_1 косинус \angle CB_1E, тогда

 75=x в квадрате плюс 100 плюс x в квадрате плюс 25 минус 2 корень из x в квадрате плюс 100 корень из x в квадрате плюс 25 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно

 равносильно корень из 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 100 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 25 правая круглая скобка =2x в квадрате плюс 50 равносильно 3 левая круглая скобка x в степени 4 плюс 125x в квадрате плюс 2500 правая круглая скобка =4x в степени 4 плюс 200x в квадрате плюс 2500 равносильно

 

 равносильно x в степени 4 минус 175x в квадрате минус 5000=0 равносильно совокупность выражений  новая строка x в квадрате =200,  новая строка x в квадрате = минус 25 конец совокупности равносильно совокупность выражений  новая строка x=10 корень из 2,  новая строка x= минус 10 корень из 2. конец совокупности

По смыслу задачи подходит только корень 10 корень из 2.

 

Ответ: 10 корень из 2.

 

Примечание.

Можно заметить, что треугольник B1EC прямоугольный: прямая CE перпендикулярна ,  — проекция наклонной B1Е, а тогда по теореме о трёх перпендикулярах CE перпендикулярна наклонной B1Е. Далее: гипотенуза вдвое больше катета, лежащего напротив угла 30°: B_1C=2CE=10 корень из 3 . Искомую высоту призмы находим по гипотенузе и катету из прямоугольного треугольника B1ВC: B_1B= корень из B_1C в квадрате минус BC в квадрате = корень из 200.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Способ нахождения расстояния верен, но получен неверный ответ или решение незакончено.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 507794: 507800 511494 Все