Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 507891

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции y= дробь: числитель: a плюс 3x минус ax, знаменатель: x в степени 2 плюс 2ax плюс a в степени 2 плюс 1 конец дроби содержит отрезок  левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Запишем знаменатель дроби в виде (x плюс a) в степени 2 плюс 1 и заметим, что для любого значения параметра а знаменатель положителен при всех значениях переменной x. Следовательно, заданная функция непрерывна, а тогда отрезок [0; 1] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения y(x) = 0 и y(x) = 1 имеют решения.

Уравнение y(x) = 0 записывается в виде (a минус 3)x=a, оно имеет решение при любом a не равно 3.

Уравнение y(x) = 1 приведем к виду x в степени 2 плюс 3 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс a в степени 2 минус a плюс 1=0. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

D=9 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в степени 2 минус 4 левая круглая скобка a в степени 2 минус a плюс 1 правая круглая скобка =5a в степени 2 минус 14a плюс 5,

 

5a в степени 2 минус 14a плюс 5\geqslant 0 равносильно совокупность выражений a\geqslant дробь: числитель: 7 плюс 2 корень из 6 , знаменатель: 5 конец дроби ,a\leqslant дробь: числитель: 7 минус 2 корень из 6 , знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .

Учитывая условие a не равно 3, окончательно имеем: a\leqslant дробь: числитель: 7 минус 2 корень из 6 , знаменатель: 5 конец дроби ,  дробь: числитель: 7 плюс 2 корень из 6 , знаменатель: 5 конец дроби \leqslant a меньше 3 или a больше 3.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус принадлежит fty; дробь: числитель: 7 минус 2 корень из 6 , знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 плюс 2 корень из 6 , знаменатель: 5 конец дроби ; 3 правая круглая скобка \cup(3; плюс принадлежит fty).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки.3
Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 507891: 507914 511503 Все

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Дмитрий 30.11.2016 22:12

Мне кажется, следует объяснить, почему из существования значений функции, равных 0 и 1, следует существование и промежуточных значений.

 

Я бы, скажем, предложил сделать оговорку, что в матанализе есть такая умная теорема Больцано-Коши, которая утверждает, что если непрерывная функция принимает значения A и B, то для любого значения C, лежащего между A и B, найдется точка x, такая что f(x)=C.

 

А потом сказать, что мы эту теорему в школе не доказываем. Однако интуитивно справедливость теоремы и так понятна. И приложить схематический рисунок, как непрерывная функция принимает все промежуточные значения.

 

А наша функция как раз непрерывна, так как знаменатель >0