Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции 
содержит отрезок 
Решение.
Спрятать критерииЗапишем знаменатель дроби в виде 
и заметим, что для любого значения параметра а знаменатель положителен при всех значениях переменной x. Следовательно, заданная функция непрерывна, и тогда отрезок [0; 1] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения 
и 
имеют решения.
Уравнение записывается в виде 
оно имеет решение при любом 
Уравнение приведем к виду 
Оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
Учитывая условие 
окончательно имеем: 
или 
Ответ: 
Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра
Мне кажется, следует объяснить, почему из существования значений функции, равных 0 и 1, следует существование и промежуточных значений.
Я бы, скажем, предложил сделать оговорку, что в матанализе есть такая умная теорема Больцано-Коши, которая утверждает, что если непрерывная функция принимает значения A и B, то для любого значения C, лежащего между A и B, найдется точка x, такая что f(x)=C.
А потом сказать, что мы эту теорему в школе не доказываем. Однако интуитивно справедливость теоремы и так понятна. И приложить схематический рисунок, как непрерывная функция принимает все промежуточные значения.
А наша функция как раз непрерывна, так как знаменатель >0