≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508089

В трапеции ABCD AD || BC, AB = 2 и E — точка пересечения биссектрисы угла BAD и прямой BC. Окружность, вписанная в треугольник ABE, касается сторон AB и BE в точках M и H соответственно, MH = 1.

а) Докажите, что MH || AE;

б) Найдите угол BAD.

Решение.

а) Заметим, что поскольку они оба равны  — один как накрест лежащий, второй — как угол при биссектрисе.

Поэтому треугольник ABE равнобедренный. Далее как касательные к вписанной окружности треугольника ABE. Тогда треугольники BMH и BAE подобны ( общий, ) и откуда

б) Пусть тогда коэффициент подобия треугольников BMH и BAE равен Тогда

Однако из той же теоремы о касательных, проведенных из одной точки, имеем то есть откуда

Значит, треугольник BMH равносторонний, тогда

 

Ответ: 120°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.