Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508098

Через точку T внутри треугольника ABC проведены три прямые k, l и m так, что k || AB, l || BC, m || AC. Эти прямые образуют три треугольника, два из которых равны по площади.

а) Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей треугольников, образованных прямыми k, l и m со сторонами треугольника ABC, равен площади этого треугольника;

б) Найдите площадь меньшего треугольника, если известно, что площадь треугольника ABC равна 25, а площадь каждого из равных треугольников равна 4.

Решение.

а) Прямые разбивают треугольник на три треугольника, подобных ему (из-за параллельности сторон) и три параллелограмма. Обозначим коэффициенты подобия за k_1,k_2,k_3 и заметим, что k_1 плюс k_2 плюс k_3=1, поскольку сумма сторон треугольников, параллельных данной стороне исходного треугольника, равна этой стороне (одна из трех там лежит, остальные две равны соответствующим частям стороны как противоположные стороны параллелограммов). Обозначая площади треугольников за S_1,S_2,S_3, а площадь исходного за S, будем иметь

( корень из { S_1} плюс корень из { S_2} плюс корень из { S_3}) в степени 2 = корень из { k_1 в степени 2 S} плюс корень из { k_2 в степени 2 S} плюс корень из { k_3 в степени 2 S}) в степени 2 =(k_1 корень из { S} плюс k_2 корень из { S} плюс k_3 корень из { S}) в степени 2 =S(k_1 плюс k_2 плюс k_3) в степени 2 =S

б) В обозначениях пункта а) имеем k_1=k_2= корень из { дробь, числитель — S_1, знаменатель — S }= корень из { дробь, числитель — 4, знаменатель — 25 }= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 , откуда k_3=1 минус k_1 минус k_2= дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 и поэтому площадь последнего треугольника равна  дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 S=1.

 

Ответ: 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83., А. Ларин: Тренировочный вариант № 83.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники