СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508108

Известно, что AB, AC, AD, DE, DF — рёбра куба. Через вершины E, F и середины рёбер AB и AC проведена плоскость P, делящая шар, вписанный в куб, на две части.

а) Постройте плоскость P.

б) Найдите отношение объёма меньшей части шара к объёму всего шара.

Решение.

а) Проведем TK, KF и ET и получим искомое сечение — равнобедренную трапецию FKTE.

б) Введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть точка O — середина высоты куба и центр вписанного шара, точки O1 и O2 — центры нижней и верхней граней куба соответсвенно, а также точки касания шара с гранями. Пусть R — радиус шара. Очевидно, что сечением шара плоскостью P является круг, центр которого лежит на NO2, где N — середина TK. Более того, центром данного круга является точка H — основание перпендикуляра из O на NO2, а радиусом — HO2. Наша задача сводится к нахождению объема шарового сегмента. Основание шарового сегмента есть круг с центром H и радиусом HO2, высотой сегмента является отрезок, равный  Найдем значения этих элементов.

Отсюда получаем, что

Тогда по формуле объема шарового сегмента находим

Следовательно, отношение объемов равно

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Куб, Построения в пространстве, Сечение -- трапеция, Шар