Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508110

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1, DC = корень из 2 .

а) Докажите, что угол ADC равен  дробь, числитель — знаменатель — p i6.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

 

а) Так как центральный угол AOB равен 120 в степени circ, то опирающийся на ту же дугу вписанный угол равен 60 в степени circ, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу с противоположной стороны, равен \angle ACB = 180 в степени circ минус 60 в степени circ = 120 в степени circ. Выпишем теорему косинусов для треугольника ABC:

AB в степени 2 = AC в степени 2 плюс BC в степени 2 минус 2 умножить на AC умножить на BC умножить на косинус \angle ACB\Rightarrow

x в степени 2 плюс y в степени 2 плюс xy = 9.

Теперь напишем теорему косинусов для треугольников ADC и BDC соответственно:

AC в степени 2 = AD в степени 2 плюс CD в степени 2 минус 2 умножить на AD умножить на CD умножить на косинус \angle ADC \Rightarrow

 y в степени 2 = 4 плюс 2 минус 2 умножить на 2 корень из { 2} косинус \alpha равносильно y в степени 2 = 6 минус 4 корень из { 2} косинус \alpha.

 

BC в степени 2 = BD в степени 2 плюс CD в степени 2 минус 2 умножить на BD умножить на CD умножить на косинус \angle BDC \Rightarrow

 x в степени 2 = 1 плюс 2 плюс 2 корень из { 2} косинус \alpha равносильно x в степени 2 = 3 плюс 2 корень из { 2} косинус \alpha.

Выпишем еще теорему синусов для треугольников ABC и ADC соответственно:

 дробь, числитель — BC, знаменатель — синус \angle BAC = дробь, числитель — AB, знаменатель — синус \angle ACB \Rightarrow дробь, числитель — x, знаменатель — синус \beta = дробь, числитель — 3, знаменатель — корень из { 3 /2}\Rightarrowx = 2 корень из { 3} синус \beta равносильно синус \beta = дробь, числитель — x, знаменатель — 2 корень из { 3 }.

 дробь, числитель — AC, знаменатель — синус \angle ADC = дробь, числитель — DC, знаменатель — синус \angle DAC \Rightarrow дробь, числитель — y, знаменатель — синус \alpha = дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — синус \beta .

Подставляя во второе выражение  синус \beta, получим:

 дробь, числитель — y, знаменатель — синус \alpha = дробь, числитель — 2 корень из { 3} умножить на корень из { 2}, знаменатель — x \Rightarrowxy = 2 корень из { 6} синус \alpha.

Осталось подставить полученные выражения для x в степени 2 ,y в степени 2 \text{ и } xy в самое первое выражение теоремы косинусов:

x в степени 2 плюс y в степени 2 плюс xy = 9\Rightarrow3 плюс 2 корень из { 2} косинус \alpha плюс 6 минус 4 корень из { 2} косинус \alpha плюс 2 корень из { 6} синус \alpha = 9 равносильно

 минус 2 корень из { 2} косинус \alpha плюс 2 корень из { 6} синус \alpha = 0 равносильно корень из { 3} синус \alpha = косинус \alpha\Rightarrow тангенс \alpha = дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 3 }\Rightarrow\alpha = дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 .

Что и требовалось доказать.

 

 

б) Воспользуемся предыдущим пунктом для поиска площади:

S_{ABC} = S_{ADC} плюс S_{BDC} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AD умножить на DC умножить на синус \alpha плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 DB умножить на DC умножить на синус (180 в степени circ минус \alpha) = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 умножить на корень из { 2} умножить на синус 30 в степени circ плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 1 умножить на корень из { 2} умножить на синус 150 в степени circ = дробь, числитель — 3 корень из { 2}, знаменатель — 4 .

 

Ответ:S_{ABC} = дробь, числитель — 3 корень из { 2}, знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружности и четырёхугольники