СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508110

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1,

а) Докажите, что угол ADC равен

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

 

а) Так как центральный угол AOB равен , то опирающийся на ту же дугу вписанный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу с противоположной стороны, равен Выпишем теорему косинусов для треугольника ABC:

Теперь напишем теорему косинусов для треугольников ADC и BDC соответственно:

 

Выпишем еще теорему синусов для треугольников ABC и ADC соответственно:

Подставляя во второе выражение , получим:

Осталось подставить полученные выражения для в самое первое выражение теоремы косинусов:

Что и требовалось доказать.

 

 

б) Воспользуемся предыдущим пунктом для поиска площади:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.