Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508124

В равнобедренном треугольнике ABC AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.

б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.

Решение.

а) Пусть \angle BAC=\alpha, тогда \angle BCA=\alpha , а по свойству внешнего угла треугольника: \angle ABD=2\alpha . Поскольку по условию задачи \angle ABD=\angle CAD,\angle CAD=2\alpha . А это значит, что AB — биссектриса угла CAD, что и требовалось доказать.

б) В соответствии с доказанным выше: \angle BAD=\alpha ,\angle ABD=2\alpha , следлвательно, \angle ADB={{180} в степени \circ } минус 3\alpha .

В \Delta ADB по теореме синусов:  дробь, числитель — AB, знаменатель — синус ({{180 в степени \circ } минус 3\alpha )}= дробь, числитель — AD, знаменатель — синус 2\alpha

или

 дробь, числитель — 5, знаменатель — синус 3\alpha = дробь, числитель — AD, знаменатель — синус 2\alpha равносильно AD= дробь, числитель — 10 синус \alpha умножить на косинус \alpha , знаменатель — синус \alpha умножить на (3 минус 4{{ синус в степени 2 }\alpha )} равносильно AD= дробь, числитель — 10 косинус \alpha , знаменатель — 3 минус 4{{ синус в степени 2 }\alpha }.

Найдем  синус \alpha и  косинус \alpha . Проведем медиану BE к стороне АС \Delta ABC. BE также будет служить высотой этого треугольника. Тогда в прямоугольном треугольнике ABE по теореме Пифагора BE = 4;AE = 3; числа 3; 4 и 5 — пифагоровы. Следовательно,  синус \alpha = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 , косинус \alpha = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 .

AD= дробь, числитель — 10 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , знаменатель — { 3 минус 4 умножить на дробь, числитель — 16, знаменатель — 25 }= дробь, числитель — 6 умножить на 25, знаменатель — 75 минус 64 = дробь, числитель — 150, знаменатель — 11 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 150, знаменатель — 11 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 91.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Треугольники