СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 508140

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ную си­сте­му так:

 

Гео­мет­ри­че­ский смысл по­лу­чен­ной си­сте­мы в кон­тек­сте дан­ной за­да­чи (си­сте­ма долж­на иметь един­ствен­ное ре­ше­ние) за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем:

Слу­чай 1. Пе­ре­се­че­ние в плос­ко­сти хОу двух кру­гов в един­ствен­ной точке:

круга с цен­тром в точке и с ра­ди­у­сом

круга с цен­тром в точке и с ра­ди­у­сом

Такой слу­чай будет иметь место, если окруж­но­сти, т. е. гра­ни­цы на­зван­ных кру­гов, кос­нут­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом.

Слу­чай 2. Один из кру­гов вы­рож­да­ет­ся в точку, и ко­ор­ди­на­ты этой точки удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству, за­да­ю­ще­му дру­гой круг.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай.

Этот слу­чай воз­мо­жен лишь при вы­пол­не­нии ра­вен­ства сумм ра­ди­у­сов двух кру­гов рас­сто­я­нию между их цен­тра­ми. Най­дем это рас­сто­я­ние.

Решим урав­не­ние от­но­си­тель­но а. Най­ден­ные зна­че­ния а и будут ис­ко­мы­ми.

Пусть Тогда ;

Пусть Тогда ; Но

Пусть Тогда ;

Те­перь рас­смот­рим слу­чай 2.

а) Пусть в точку вы­рож­да­ет­ся круг с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом

При и вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы при­мет вид:

Но это не­ра­вен­ство не­вы­пол­ни­мо. Сле­до­ва­тель­но, точка кругу с цен­тром в точке и с ра­ди­у­сом не при­над­ле­жит.

б) Пусть те­перь в точку вы­рож­да­ет­ся круг с цен­тром в точке и с ра­ди­у­сом, рав­ным Тогда

При и пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы имеет вид: од­на­ко, по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство также не­воз­мож­но. Зна­чит, точка кругу с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом, рав­ным также не при­над­ле­жит.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мых зна­че­ний а всего два: и 3.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы с параметром