СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 508146

При каких значениях параметра а система уравнений

имеет более двух различных решений?

Решение.

Преобразуем левую часть первого уравнения системы.

=

В этот результат подставим значение у, полученное из второго уравнения системы и запишем первое уравнение так:

Таким образом, мы получили совокупность двух уравнений:

Найдем значения параметра а, при которых уравнения (1) и (2) решений иметь не будут. Ясно, что при таких значениях а их дискриминанты (обозначим их и соответственно) будут отрицательными.

Для уравнения (1):

Для уравнения (2):

Заметим, что

Количество решений уравнений (1) и (2) можно увидеть из таблицы, составленной на основании исследования знаков и

Случаи 3 и 7 интереса не представляют.

В случаях 1, 5, 9, в которых оба уравнения имеют по два различных корня, тождественных совпадений этих корней не будет, поскольку для такого совпадения необходимо равенство абсцисс осей симметрии корней, т.е. абсцисс вершин 2-х парабол (обозначим их и ). Но Ясно, что равенство ни при каких а не выполнимо. А это значит, что при и система имеет не менее трех различных корней.

Осталось проверить случаи 2, 4, 6 и 8.

Найдем, при каких значениях а возможно совпадение корней уравнений (1) и (2). Для этого решим уравнение относительно х.

В случаях 2 и 4 уравнение (1) имеет два одинаковых корня

Это Тогда должно выполняться условие:

(Сумма рационального числа и иррационального числа не может равняться рациональному числу). А это значит, что в этих случаях решения уравнения (1) совпасть хотя бы с одним корнем уравнения (2) при не может.

Следовательно, в случаях 2 и 4 система будет иметь ровно три различных решения.

Поверим случаи 6 и 8, в которых

Корни уравнения (2) будут иметь вид: При совпадении такого корня хотя бы с одним из корней уравнения (1) должно выполняться условие:

Но при этом не выполняются равенства:

Убедимся в этом. Предположим, что эти равенства выполняются. Тогда:

Это равенство места не имеет, так как слева равенства получаем число четное, а справа — число нечетное.

Равенство невыполнимо, поскольку слева равенства число положительное, тогда как справа — отрицательное.

(равенство невыполнимо из-за положительности левой части и отрицательности правой).

Однако, тогда как

Значит, в случаях 6 и 8 система также будет иметь ровно 3 различных решения.

Итак, искомыми значениями параметра а являются элементы множества

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы с параметром