СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508157

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.

а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.

б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.

Решение.

а) Вписанные углы ВАС и BDC опираются на одну и ту же дугу заданной окружности, следовательно,

Пусть F — точка пересечения МЕ с АВ.

отсюда: как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. (2)

как вертикальные углы. (3)

Из равенств (1)–(3) получим: Отсюда: DM = EM. Аналогично можно доказать, что CM = EM. Следовательно, EM — медиана треугольника CЕD.

б) В прямоугольном

Значит,

В в котором по теореме Пифагора:

В прямоугольном

Так как М — середина гипотенузы прямоугольного треугольника DEC, то она равноудалена от вершин этого треугольника, значит,

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 505691: 505787 508157 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.