Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 508165

Про натуральное число N известно, что сумма его четырех наименьших натуральных делителей равна 12.

А) Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 195?

Б) Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 120?

В) Найдите все возможные числа N, у которых сумма четырех наибольших натуральных делителей не превосходит 100.

Спрятать решение

Решение.

а) Возможны лишь два набора четырех наименьших делителей, удовлетворяющих условию задачи: 1,2,4,5 и 1,2,3,6. В первом случае сумма четырех наибольших делителей равна  N плюс N/2 плюс N/4 плюс N/5= дробь: числитель: 39N, знаменатель: 20 конец дроби , во втором случае сумма четырех наибольших делителей равна  N плюс N/2 плюс N/3 плюс N/6=2N. Пусть  дробь: числитель: 39N, знаменатель: 20 конец дроби =195, тогда N=100. Четыре его наименьших делителя равны 1,2,4,5.

 

б) Пусть  дробь: числитель: 39N, знаменатель: 20 конец дроби =120, тогда N не является целым. Пусть 2N=120, тогда N=60. Но наименьшие делители 60 равны 1,2,3,4, что не удовлетворяет условию.

 

в) Пусть наименьшие делители числа N равны 1,2,4,5. Тогда  дробь: числитель: 39N, знаменатель: 20 конец дроби \leqslant100, то есть  N\leqslant51. Кроме этого N должно делиться на 20, и не делиться на 3. Этому условию удовлетворяют числа 20 и 40.

Пусть наименьшие делители числа N равны 1,2,3,6. Тогда 2N\leqslant100, то есть  N\leqslant50. Кроме этого N должно делиться на 6, и не делиться ни на 4, ни на 5. Этому условию удовлетворяют числа 6, 18 и 42.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 6, 18, 20, 40, 42.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 508165: 511257 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 97.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства