Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508169

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH, медиана СМ и биссектриса СL.

а) Докажите, что СL является биссектрисой угла MCH.

б) Найдите длину биссектрисы СL, если СН = 3, СМ = 5.

Решение.

Пусть AC меньше BC, тогда точки лежат в таком порядке A, H, L, M, B.

а) \angle LCM=45 в степени circ минус \angle MCB=45 в степени circ минус \angle MBC=45 в степени circ минус (90 в степени circ минус \angle BAC)=45 в степени circ минус (90 в степени circ минус \angle HAC)= =45 в степени circ минус \angle ACH=\angle HCL, что и требовалось (во втором равенстве использовалось свойство медианы прямоугольного треугольнике).

б) Рассмотрим треугольник CHM. HM= корень из { 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 }=4. По свойству биссектрисы треугольника HL:LM=HC:CM=3:5, откуда HL= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 и CL= корень из { 3 в степени 2 плюс дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 }= дробь, числитель — 3 корень из { 5}, знаменатель — 2 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 3 корень из { 5}, знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 98.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Треугольники