Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 508171

А) Найдите какое-либо натуральное число, у которого ровно 10 делителей (включая 1 и само число).

Б) Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 делителей.

В) Найдите все трехзначные нечетные натуральные числа, у которых ровно 10 делителей.

Спрятать решение

Решение.

а) У числа 2 в степени 9 =512 ровно 10 делителей: 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512.

 

б) Число N, имеющее ровно 10 делителей может иметь вид N=p в степени 9 , где p - простое, или N=p_1 в степени 4 умножить на p_2, где p_1, p_2 - простые. Наименьшее число первого вида получится, если взять p=2, тогда  N=512 . Наименьшее число второго вида получится, если взять p_1=2, p_2=3. Тогда N=48.

 

в) Из пункта б) ясно что числа могут быть только двух типов. Причем, двойки среди простых множителей быть не может. 3 в степени 9 больше 1000, поэтому числа могут быть только второго типа. Пусть p_1=3, p_2=5. Тогда N=405. Пусть p_1=3, p_2=7. Тогда N=567. Пусть p_1=3, p_2=11. Тогда N=891. Если же p_1 больше 3 или p_2 больше 11, то N больше 1000.

 

Ответ: а) 512; б) 48; в) 405, 567, 891.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 98.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства