А) Найдите какое-либо натуральное число, у которого ровно 10 делителей (включая 1 и само число).
Б) Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 делителей.
В) Найдите все трехзначные нечетные натуральные числа, у которых ровно 10 делителей.
а) У числа 
ровно 10 делителей: 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512.
б) Число N, имеющее ровно 10 делителей может иметь вид 
где p - простое, или 
где 
- простые. Наименьшее число первого вида получится, если взять 
тогда 
Наименьшее число второго вида получится, если взять 
Тогда 
в) Из пункта б) ясно что числа могут быть только двух типов. Причем, двойки среди простых множителей быть не может. 
поэтому числа могут быть только второго типа. Пусть 
Тогда 
Пусть 
Тогда 
Пусть 
Тогда 
Если же 
или 
то 
Ответ: а) 512; б) 48; в) 405, 567, 891.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |