СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508187

Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность. На окружности отмечена точка М, не совпадающая ни с одной из точек А, В и С.

а) Докажите, что расстояние от точки М до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках А, В, С и М, если известно, что площадь равна  а радиус окружности равен

Решение.

а) Докажем, что BM = AM + MC.

По теореме Птолемея: Пусть

Тогда: т. е. BM = MC + AM, что и требовалось доказать.

б) — это с одной стороны, а с другой же стороны

Отсюда:

По доказанному выше:

По свойству окружности, описанной около четырехугольника, будем иметь:

или

 

 

В по теореме косинусов:

Значит,

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.