СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508197

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

Решение.

Элементарно-геометрический метод исследования.

Воспользуемся методом объемов. Вычислим объем треугольной пирамиды C1A1MD, основанием которой служит а высотой — отрезок C1D1.

С другой же стороны: где — искомое расстояние. Для вычисления площади треугольника A1DC1 найдем A1D, A1C1 и DC1.

Высоту h этого треугольника, проведенную к стороне A1C1, получим по теореме Пифагора:

Координатно-векторный метод исследования.

Поместим заданную призму в декартову систему координат с началом в точке D (0; 0; 0). Выпишем координаты нужных точек: Будем искать уравнение плоскости A1DC1 в виде ax + by + cz + d = 0. Поскольку плоскость проходит через начало координат, заведомо d = 0. Подставим координаты точек A1 и C1 в уравнение плоскости.

; Пусть c = 1, тогда

Искомое уравнение будет иметь вид: или

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.