Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508197

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна  корень из { 2}, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

Решение.

Элементарно-геометрический метод исследования.

Воспользуемся методом объемов. Вычислим объем треугольной пирамиды C1A1MD, основанием которой служит \Delta {{A}_{1}}MD, а высотой — отрезок C1D1.

S({{A}_{1}}MD)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 S(A{{A}_{1}}{{D}_{1}}D)= дробь, числитель — 2 корень из { 2}, знаменатель — 4 = дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .

{{V}_{пир.}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 умножить на корень из { 2}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 .

С другой же стороны: {{V}_{пир.}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на S({{A}_{1}}D{{C}_{1}}) умножить на \rho , где \rho — искомое расстояние. Для вычисления площади треугольника A1DC1 найдем A1D, A1C1 и DC1.

{{A}_{1}}D=D{{C}_{1}}= корень из { 2 плюс 4}= корень из { 6}.{{A}_{1}}{{C}_{1}}= корень из { 2 плюс 2}=2. Высоту h этого треугольника, проведенную к стороне A1C1, получим по теореме Пифагора:

h= корень из { DC_{1} в степени 2 минус {{ левая круглая скобка дробь, числитель — {{A}_{1}, знаменатель — {C _{1}}}{2} правая круглая скобка } в степени 2 }}= корень из { 6 минус 1}= корень из { 5}.

S({{A}_{1}}D{{C}_{1}})= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 {{A}_{1}}{{C}_{1}} умножить на h= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 умножить на корень из { 5}= корень из { 5}.\rho = дробь, числитель — 3{{V}_{.}}, знаменатель — S({{A _{1}}D{{C}_{1}})}= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }.

Координатно-векторный метод исследования.

Поместим заданную призму в декартову систему координат с началом в точке D (0; 0; 0). Выпишем координаты нужных точек: {{A}_{1}}( корень из { 2};0;2),{{C}_{1}}(0; корень из { 2};2),M( корень из { 2}; 0; 1). Будем искать уравнение плоскости A1DC1 в виде ax + by + cz + d = 0. Поскольку плоскость проходит через начало координат, заведомо d = 0. Подставим координаты точек A1 и C1 в уравнение плоскости.

 система выражений  новая строка корень из { 2}a плюс 2c=0 , новая строка корень из { 2}b плюс 2c=0 конец системы .; Пусть c = 1, тогда  система выражений  новая строка a= минус корень из { 2} , новая строка b= минус корень из { 2} . конец системы .

Искомое уравнение будет иметь вид:  минус корень из { 2}x минус корень из { 2}y плюс z=0 или  корень из { 2}x плюс корень из { 2}y минус z=0.

\rho (M;({{A}_{1}}D{{C}_{1}}))= дробь, числитель — \left| корень из { 2} корень из { 2} плюс корень из { 2} умножить на 0 минус 1 умножить на 1 |, знаменатель — корень из { 2 плюс 2 плюс 1 }= дробь, числитель — |2 минус 1|, знаменатель — корень из { 5 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106.
Методы геометрии: Метод координат, Метод объемов
Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная призма, Расстояние от точки до плоскости