Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C3 № 508198

Решите неравенство {{\log }_{4x}}2x минус {{\log }_{2{{x} в степени 2 }}}4{{x} в степени 2 } больше или равно минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

Решение.

В логарифмах перейдем к основанию 2.

{{\log }_{4x}}2x минус {{\log }_{2{{x} в степени 2 }}}4{{x} в степени 2 } больше или равно минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 равносильно дробь, числитель — {{\log }_{2}}2x, знаменатель — {{\log _{2}}4x} минус дробь, числитель — {{\log }_{2}}4{{x} в степени 2 }, знаменатель — {{\log _{2}}2{{x} в степени 2 }} плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — {{\log }_{2}}x плюс 1, знаменатель — {{\log _{2}}x плюс 2} минус дробь, числитель — 2{{\log }_{2}}x плюс 2, знаменатель — 2{{\log _{2}}x плюс 1} плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 больше или равно 0.

 

Пусть {{\log }_{2}}x=t, тогда

 дробь, числитель — t плюс 1, знаменатель — t плюс 2 минус дробь, числитель — 2t плюс 2, знаменатель — 2t плюс 1 плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 4{{t} в степени 2 } плюс 2t плюс 4t плюс 2 минус 4{{t} в степени 2 } минус 8t минус 4t минус 8 плюс 6{{t} в степени 2 } плюс 15t плюс 6, знаменатель — 2(t плюс 2) умножить на (2t плюс 1) больше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь, числитель — 6{{t} в степени 2 } плюс 9t, знаменатель — (t плюс 2) умножить на левая круглая скобка t плюс дробь, числитель — 1 {2, знаменатель — п равая круглая скобка } больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t левая круглая скобка t плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка , знаменатель — { (t плюс 2) умножить на левая круглая скобка t плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка } больше или равно 0.

Решим это неравенство методом интервалов.

 

Интервалы левая круглая скобка минус принадлежит fty ; минус 2 правая круглая скобка  левая круглая скобка минус 2; минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка  левая круглая скобка минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 ; минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка  левая круглая скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;0 правая круглая скобка  левая круглая скобка 0; плюс принадлежит fty правая круглая скобка
Знак рационального выражения+++

 

Итак, t меньше минус 2, минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 меньше или равно t меньше минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;t больше или равно 0.

Перейдем к переменной x. {{\log }_{2}}x меньше минус 2 равносильно {{\log }_{2}}x меньше {{\log }_{2}} дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 равносильно 0 меньше x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

 минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 меньше или равно {{\log }_{2}}x меньше минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно {{\log }_{2}}{{2} в степени минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 } меньше или равно {{\log }_{2}}x меньше {{\log }_{2}}{{2} в степени минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 } равносильно дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 4 меньше или равно x меньше дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .

{{\log }_{2}}x больше или равно 0 равносильно x больше или равно 1.

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 4 ; дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Методы алгебры: Введение замены
Классификатор базовой части: 2.2.9 Метод интервалов