Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508596

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке О.

А) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.

Б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.

Решение.

а) Поскольку \angle AC_1C=\angle AA_1C=90 в степени circ, точки C_1 и A_1 лежат на окружности с диаметром AC. Тогда по следствию теоремы о вписанном угле \angle C_1A_1A=\angle C_1CA и \angle A_1C_1C=\angle A_1AC, поэтому указанные треугольники подобны по двум углам.

б) Заметим, что из вписанности четырехугольника AC_1A_1C следует, что \angle C_1AC= Пи минус \angle C_1A_1C=\angle BA_1C_1, аналогично \angle A_1CA=\angle BC_1A_1, поэтому треугольники BAC и BA1C1 подобны с коэффициентом подобия  дробь, числитель — BC_1, знаменатель — BC = косинус \angle C_1BC= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 , поэтому их площади относятся как 4:3. Значит,

S_{AC_1A_1C}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 S_{ABC}=20.

 

Ответ: 20.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 101.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие, Треугольники