СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 509097

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.

Ре­ше­ние.

а) Да. На­при­мер, числа 1, 3, 5, 7 со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, а их сумма равна 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

б) Так как все дан­ные n чисел на­ту­раль­ные, то наи­мень­шее из них боль­ше или равно 1, а по­сколь­ку все эти числа раз­лич­ны (т. е. от­ли­ча­ют­ся друг от друга не менее, чем на 1), то их сумма S не мень­ше суммы 1 + 2 + ... +, т. е. Если из­вест­но, что S < 900, то из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что от­ку­да n < 42 (при имеем: ). При n = 41 имеем: на­ту­раль­ные числа от 1 до 41 (без про­пус­ков) со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, их ко­ли­че­ство равно 41, а сумма мень­ше 900. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние n в пунк­те б) равно 41.

в) Пусть — наи­мень­шее из дан­ных n чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, d — раз­ность этой про­грес­сии. Тогда по из­вест­ной фор­му­ле сумма этих n чисел равна Если из­вест­но, что сумма дан­ных n чисел равна 235, то За­ме­тим, что число 47 про­стое и (в пунк­те б) до­ка­за­но, что ), то n — один из де­ли­те­лей числа 10.

Так как то воз­мож­ные зна­че­ния n = 5 или n = 10. Под­ста­вим в ра­вен­ство по­оче­ред­но n = 5 и n = 10, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие ра­вен­ства: и Пер­вое из этих ра­венств вы­пол­ня­ет­ся, на­при­мер, при а вто­рое — при Про­грес­сии 1, 24, 47, 70, 93 и 1, 6, 11, …, 46 со­сто­ят из 5 и 10 чле­нов, а их сумма равна 235.

 

Ответ: а) да; б) 41; в) 5 и 10.


Аналоги к заданию № 509097: 509126 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства, Последовательности и прогрессии