СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 509173

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду.

Решение.

Пусть ABCP —‍ данная правильная треугольная пирамида с вершиной P,‍ AB = BC = AC = a,‍ M —‍ центр равностороннего треугольника ABC,‍ L —‍ середина BC,‍ ∠PAM = ∠PBM = ∠PCM = 60‍°.‍ Поскольку пирамида правильная, PM —‍ её высота.

Из прямоугольного треугольника PAM‍ находим, что

Поскольку PLBC‍ и MLBC,‍ угол PLM —‍ линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани BCP‍ и плоскостью основания ABC.‍ Из прямоугольного треугольника PLM‍ находим, что

Центр O‍ сферы, вписанной в правильную пирамиду ABCP‍ лежит на её высоте PM,‍ а так как эта сфера вписана в двугранный угол между плоскостями граней BCP‍ и ABC,‍ то точка O‍ лежит в биссекторной плоскости этого угла.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL.‍ Получим треугольник APL‍ и окружность, касающуюся двух его сторон LP‍ и LA,‍ причём стороны KC —‍ в точке M.‍ Радиус r‍ этой окружности равен радиусу сферы, вписанной в пирамиду, центр O‍ лежит на высоте PM,‍ а Из прямоугольного треугольника OML‍ находим, что

Поскольку имеем уравнение из которого находим, что

Следовательно,

 

Ответ:

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Правильная треугольная пирамида, Шар