Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 509185

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  дробь, числитель — 1, знаменатель — { 30}?

б) Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  дробь, числитель — 1, знаменатель — { 35}?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Решение.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через B.

а) Заметим, что A = дробь, числитель — m, знаменатель — 7 , B = дробь, числитель — n, знаменатель — 5 , где m и n — некоторые натуральные числа.

Значит, A минус B= дробь, числитель — m, знаменатель — 7 минус дробь, числитель — n, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 5m минус 7n, знаменатель — 35 . Если A минус B= дробь, числитель — 1, знаменатель — { 30}, то 5m минус 7n = дробь, числитель — 35, знаменатель — 30 , что невозможно.

Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться  дробь, числитель — 1, знаменатель — { 30}.

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна

 дробь, числитель — 0 плюс 1 плюс 2 плюс 4 плюс 7 плюс 8 плюс 9, знаменатель — 7 минус дробь, числитель — 1 плюс 2 плюс 4 плюс 7 плюс 8, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 31, знаменатель — 7 минус дробь, числитель — 22, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 1, знаменатель — { 35}.

в) Пусть x — наименьшая из оценок, z — наибольшая, а y — сумма остальных пяти оценок. Тогда

A минус B= дробь, числитель — x плюс y плюс z, знаменатель — 7 минус дробь, числитель — y, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 5x минус 2y плюс 5z, знаменатель — 35 меньше или равно дробь, числитель — 5x плюс 5z минус 2((x плюс 1) плюс (x плюс 2) плюс ... плюс (x плюс 5)), знаменатель — 35 =

= дробь, числитель — 5z минус 5x минус 30, знаменатель — 35 меньше или равно дробь, числитель — 5 умножить на 10 минус 5 умножить на 0 минус 30, знаменатель — 35 = дробь, числитель — 4, знаменатель — 7

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность A − B равна  дробь, числитель — 4, знаменатель — 7 . Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно  дробь, числитель — 4, знаменатель — 7 .

 

Ответ: а) нет; б) да; в)  дробь, числитель — 4, знаменатель — 7


Аналоги к заданию № 509185: 518917 518964 513112 Все

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки