Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 509347

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные двузначные (положительные) числа.

а) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 19 конец дроби .

б) Может ли дробь  дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби быть в 11 раз меньше, чем сумма  дробь: числитель: 3a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: 2c, знаменатель: d конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби , если a больше 3b и c больше 2d?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть a=10,b=50, c=15 и d=45. Тогда  дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 95 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 19 конец дроби .

б) Предположим, что 11 умножить на дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 3a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: 2c, знаменатель: d конец дроби . Тогда:

11(3a плюс 2c)bd=(b плюс d)(3ad плюс 2bc) равносильно 33abd плюс 22bcd=3abd плюс 2bcd плюс 3ad в квадрате плюс 2b в квадрате c равносильно

 

 равносильно 30abd минус 3ad в квадрате =2b в квадрате c минус 20bcd равносильно 3ad(10b минус d)=2bc(b минус 10d).

С другой стороны имеем: 10b минус d больше или равно 10 умножить на 10 минус 99 больше 0 больше 99 минус 10 умножить на 10 больше или равно b минус 10d. Следовательно, числа ad(10b минус d)и bc(b минус 10d) имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что 99 больше или равно c больше или равно 2d плюс 1 и a больше или равно 3b плюс 1. Значит, d меньше или равно дробь: числитель: 98, знаменатель: 2 конец дроби =49. Используя неравенства a больше или равно 3b плюс 1,c больше или равно 2d плюс 1,d меньше или равно 49 и b больше или равно 10, получаем:

 дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби больше или равно дробь: числитель: 9b плюс 4d плюс 5, знаменатель: b плюс d конец дроби =4 плюс дробь: числитель: 5b плюс 5, знаменатель: b плюс d конец дроби больше или равно 4 плюс дробь: числитель: 5b плюс 5, знаменатель: b плюс 49 конец дроби =9 минус дробь: числитель: 240, знаменатель: b плюс 49 конец дроби больше или равно 9 минус дробь: числитель: 240, знаменатель: 59 конец дроби = дробь: числитель: 291, знаменатель: 59 конец дроби .

Пусть a=31,b=10,c=99 и d=49. Тогда  дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 291, знаменатель: 59 конец дроби . Следовательно, наименьшее возможное значение дроби  дробь: числитель: 3a плюс 2c, знаменатель: b плюс d конец дроби равно  дробь: числитель: 291, знаменатель: 59 конец дроби .

 

Ответ: а) Да, например, если a=10,b=50,c=15 и d=45; б) нет; в)  дробь: числитель: 291, знаменатель: 59 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 509326: 512341 512383 509347 517205 517243 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства