Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 509583

Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

Спрятать решение

Решение.

Пусть Bi — размер долга Жанны на конец месяца i, Xi — платеж Жанны в конце месяца i. Мы знаем, что имеет место соотношение Bi = 1,02Bi − 1Xi. Кроме того, мы знаем, что последовательность (Bi) является арифметической прогрессией. При этом B0 = 1200 тыс. руб., а B24 = 0, так как в конце срока кредитования долг Жанны должен быть равен нулю. Этих двух точек достаточно, чтобы узнать всю последовательность Bi: b_i= дробь: числитель: 24 минус i, знаменатель: 24 конец дроби умножить на 1200. Значит,

X_i=1,02B_i минус 1 минус B_i= левая круглая скобка 1,02 умножить на дробь: числитель: 25 минус i, знаменатель: 24 конец дроби минус дробь: числитель: 24 минус i, знаменатель: 24 конец дроби правая круглая скобка умножить на 1200= дробь: числитель: 1,5 минус 0,02i, знаменатель: 24 конец дроби умножить на 1200.

Поскольку Xi линейно зависит от i, последовательность Xi также является арифметической прогрессией. Значит,

X_1 плюс X_2 плюс ... плюс X_12= дробь: числитель: (X_1 плюс X_12, знаменатель: ) конец дроби умножить на 122=6(50 умножить на 1,48 плюс 50 умножить на 1,26)=300 умножить на (1,48 плюс 1,26)=300 умножить на 2,74=822 тыс. рублей.

 

Ответ: 822 тыс. рублей.

 

Приведём другое решение.

Ежемесячно Жанна возвращает банку по 1,2 млн : 24 = 50 тыс. руб. тела долга и выплачивает равномерно уменьшающуюся от максимального значения до нуля сумму процентов за пользование кредитом. За первый месяц это 0,02 · 1,2 млн = 24 тыс. руб. За второй месяц на 1/24 меньше то есть 23 тыс. руб., затем 22 тыс. руб. и так далее. Поэтому выплаты за 12 первых месяцев составят арифметическую прогрессию с первым членом 74, последним — 63 тыс. руб. Ее сумма равна 12(74 + 63)/2 = 822 тыс. руб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 509583: 509930 Все

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах