В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем 
длины катета 
б) Найдите радиус второй окружности.
а) Пусть Q — центр второй окружности, M и N — её точки касания со сторонами AB и AC соответственно, а точка H — проекция точки Q на 
Имеем: 
следовательно, 
Тогда 
Поэтому 
что и требовалось доказать.
б) Пусть x — радиус второй окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник 
По теореме Пифагора 
откуда:
Условию 
удовлетворяет только 
Кстати, отсюда следует, что точки O и H совпадают.
Ответ: 2,5.