Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 511581
i

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны сто­ро­ны AC = 12, BC = 5. Окруж­ность ра­ди­у­са 2,5 с цен­тром O на сто­ро­не BC про­хо­дит через вер­ши­ну C. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ка­те­та AC, ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка, а также внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти мень­ше, чем дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби длины ка­те­та AC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть Q  — центр вто­рой окруж­но­сти, M и N  — её точки ка­са­ния со сто­ро­на­ми AB и AC со­от­вет­ствен­но, а точка H  — про­ек­ция точки Q на BC. Имеем: AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =13, сле­до­ва­тель­но, ко­си­нус \angle A= дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , синус \angle A= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби . Тогда тан­генс \angle NAQ= тан­генс дробь: чис­ли­тель: \angle A, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус \angle A, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус \angle A конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . По­это­му AC боль­ше AN=5NQ, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть x  — ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OHQ:

QH=CN=12 минус 5x боль­ше 0,OQ=x плюс 2,5,OH=|OC минус CH|=|2,5 минус x|.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OH в квад­ра­те плюс QH в квад­ра­те =OQ в квад­ра­те , от­ку­да:

левая круг­лая скоб­ка 12 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2,5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2,5 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 25x в квад­ра­те минус 130x плюс 144=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=1,6 , новая стро­ка x=3,6. конец со­во­куп­но­сти .

Усло­вию 12 минус 5x боль­ше 0 удо­вле­тво­ря­ет толь­ко x = 1,6.

 

 

Ответ: 1,6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 509467: 509629 510494 511581 ... Все

Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Впи­сан­ные окруж­но­сти
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Дмитрий Ханенко 03.06.2016 18:52

так как окруж­ность с цен­тром О и ра­ди­у­сом 2,5 (то есть диа­мет­ром 5) лежит на пря­мой ВС рав­ной 5 то обе эти точки долж­ны ле­жать на этой окруж­но­сти

Константин Лавров

Да, Вы правы, не со­всем точ­ная кар­тин­ка.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026