Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 509973

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений x в степени 2 минус 2x плюс y в степени 2 минус 4y=2|x плюс 2y минус 5|,2x минус y=a конец системы .

имеет более двух решений.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

x в степени 2 минус 2x плюс y в степени 2 минус 4y=2x плюс 4y минус 10 равносильно

 равносильно x в степени 2 минус 4x плюс y в степени 2 минус 8y плюс 10 = 0 равносильно

 равносильно (x минус 2) в степени 2 плюс (y минус 4) в степени 2 =10.

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O1(2; 4) и радиусом  корень из { 10}.

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

x в степени 2 минус 2x плюс y в степени 2 минус 4y=10 минус 2x минус 4y равносильно x в степени 2 плюс y в степени 2 =10.

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом  корень из { 10}.

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω1 с концами в точках A и B, во втором — дугу ω2 с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка C(2 корень из 2 ; минус корень из 2 ) лежит на дуге ω2 и прямая OC перпендикулярна прямой O1O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O1O или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При a = минус 5 корень из 2 прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при a=5 корень из 2 прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.

При  минус 5 корень из 2 меньше a меньше минус 5 или 5 меньше a меньше 5 корень из 2 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При a меньше минус 5 корень из 2 или a больше 5 корень из 2 прямая m не пересекает дуги ω1 и ω2, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при  минус 5 корень из 2 меньше a\le минус 5 или 5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 .

 

Ответ:  минус 5 корень из 2 меньше a\le минус 5,5 меньше или равно a меньше 5 корень из 2 .


Аналоги к заданию № 510104: 509973 513110 Все

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Основная волна 04.06.2015. Вариант 1 (Часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение окружности
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Ильнур Гильманов 12.02.2016 16:37

Как вы находите координаты точек? (например, точка С) и аналогично, значения параметра?

Константин Лавров

Это достаточно очевидно. C(x, y) — вершина прямоугольного треугольника, с гипотенузой O_2C= корень из { 10}, катетами x и -y и тангенсом угла при вершине O_2 равным 0,5.

Андрей Петров 09.01.2017 09:33

Как вы определили тангенс угла? Объясните подробнее.

Александр Иванов

Для прямой y=kx плюс b угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона этой прямой

Артем Ярош 21.02.2017 14:38

Почему вы взяли дуги, а не окружности?

Александр Иванов

Всё дело в модуле...