Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Преобразуем первое уравнение системы:
Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг 
и 
окружностей радиуса 
с центрами в точках 
и 
лежащих ниже и выше прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Заметим, что точка касания 
лежит на дуге и прямая 
перпендикулярна прямой 
поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой 
или совпадающую с ней.
При 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
Аналогично, при 
прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.
При 
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг и 
то есть исходная система имеет два решения.
Аналогично, при 
прямая m касается дуг и то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг и в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.
При 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m не пересекает дуги и то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5. | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O1(2; 4) и радиусом 
2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом
Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω1 с концами в точках A и B, во втором — дугу ω2 с концами в тех же точках (см. рис.).
Заметим, что точка 
лежит на дуге ω2 и прямая OC перпендикулярна прямой O1O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O1O или совпадающую с ней.
При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.
При 
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.
Аналогично, при 
прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.
При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m не пересекает дуги ω1 и ω2, то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5. | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
2) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом
Полученные окружности пересекаются в двух точках 
и 
лежащих на прямой 
поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках A и B, во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.
При 
прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m перпендикулярна прямой O1B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.
При a = 8 прямая m перпендикулярна прямой O2B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но в ответ включены также и одно-два неверных значения. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию совокупности трёх квадратных уравнений относительно a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх