Пусть тогда, ис­поль­зуя тео­ре­му, об­рат­ную тео­ре­ме Виета, по­лу­чим:

Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня тогда и толь­ко тогда, когда гра­фик функ­ции имеет с го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми и ровно две общие точки. Эти пря­мые сов­па­да­ют, если

При урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Если то при а если то при имеем:

При не­огра­ни­чен­ном уве­ли­че­нии x зна­че­ния функ­ции стре­мят­ся к нулю, причём, для функ­ция f яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей, а при   — убы­ва­ю­щей. Эс­ки­зы гра­фи­ков изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке.

Таким об­ра­зом, при долж­ны быть вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства от­ку­да при долж­ны быть вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства от­ку­да

Ответ:

При­ведём ав­тор­ское ре­ше­ние.

Пусть тогда по­лу­чим:

Зна­чит, ре­ше­ние ис­ход­но­го урав­не­ния  — это ре­ше­ние урав­не­ний или

Ис­сле­ду­ем сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от a и При и и то есть при левая часть опре­де­ле­на и при­ни­ма­ет вид

При вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет по од­но­му все зна­че­ния из про­ме­жут­ка для и при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка для Зна­чит, при вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка при и при­ни­ма­ет по од­но­му разу все зна­че­ния из про­ме­жут­ка при Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние при и не имеет ре­ше­ний при и При и урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и либо имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний, либо не имеет ре­ше­ний.

Урав­не­ние и могут иметь общие ре­ше­ния при то есть при При оба урав­не­ния при­ни­ма­ют вид и имеют одно ре­ше­ние.

При дру­гих зна­че­ни­ях a ис­ход­ное урав­не­ние имеет два ре­ше­ния, если оба урав­не­ния имеют по од­но­му ре­ше­нию. По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния при a при­над­ле­жа­щем мно­же­ству