Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510852

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

 левая круглая скобка |x плюс 2| плюс |x минус a| правая круглая скобка в квадрате минус 5 левая круглая скобка |x плюс 2| плюс |x минус a| правая круглая скобка плюс 3a левая круглая скобка 5 минус 3a правая круглая скобка =0

имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

Пусть t=|x плюс 2| плюс |x минус a|, тогда исходное уравнение принимает вид:

t в квадрате минус 5t плюс 3a левая круглая скобка 5 минус 3a правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=3a,t=5 минус 3a конец совокупности

откуда

 совокупность выражений |x плюс 2| плюс |x минус a|=3a,|x плюс 2| плюс |x минус a|=5 минус 3a. конец совокупности

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений |x плюс 2| плюс |x минус a|=3a или |x плюс 2| плюс |x минус a|=5 минус 3a. Исследуем сколько решений имеет уравнение |x плюс 2| плюс |x минус a|=b в зависимости от a и b. Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при b меньше 0 решений нет. Запишем уравнение в виде |x плюс 2|= минус |x минус a| плюс b. График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке  левая круглая скобка минус 2,0 правая круглая скобка , график правой части — график модуля, отражённый относительно оси Ox, с вершиной в точке  левая круглая скобка a, b правая круглая скобка . Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая y= минус x плюс a плюс b лежит правее (выше) прямой y= минус x минус 2 и прямая y=x минус a плюс b лежит левее (выше) прямой y=x плюс 2. Это достигается условиями  минус x плюс a плюс b больше минус x минус 2 и x минус a плюс b больше x плюс 2. Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:

 система выражений  новая строка a плюс b больше минус 2, a минус b меньше минус 2, b больше или равно 0. конец системы

Если вершина  левая круглая скобка a, b правая круглая скобка находится внутри части плоскости отсекаемой графиком y=|x плюс 2|, то уравнение имеет два решения, если прямые y= минус x минус 2 и y= минус x плюс a плюс b совпадают или прямые y=x плюс 2 и y=x минус a плюс b совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина  левая круглая скобка a,b правая круглая скобка совпадает с точкой  левая круглая скобка минус 2,0 правая круглая скобка , то уравнение имеет одно решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.

Первый случай. При a плюс b меньше минус 2 или a минус b больше минус 2, или b меньше 0 уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом, исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно система условий имеет вид:

 система выражений  новая строка система выражений  новая строка a плюс 3a больше минус 2,  новая строка a минус 3a меньше минус 2,  новая строка 3a\geqslant0 конец системы  новая строка совокупность выражений  новая строка a плюс 5 минус 3a меньше минус 2,  новая строка a минус 5 плюс 3a больше минус 2,  новая строка 5 минус 3a меньше 0, конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений  новая строка система выражений  новая строка a больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,  новая строка a больше 1,  новая строка a\geqslant0, конец системы  новая строка совокупность выражений  новая строка a больше дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ,  новая строка a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка a больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби  конец системы . конец совокупности . равносильно a больше 1.

В случае, когда второе уравнение верно система условий имеет вид:

 система выражений  новая строка совокупность выражений  новая строка a плюс 3a меньше минус 2,  новая строка a минус 3a больше минус 2,  новая строка 3a меньше 0, конец системы  новая строка система выражений  новая строка a плюс 5 минус 3a больше минус 2,  новая строка a минус 5 плюс 3a меньше минус 2,  новая строка 5 минус 3a\geqslant0, конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений  новая строка a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,  новая строка a меньше 1,  новая строка a меньше 0, конец системы  новая строка система выражений  новая строка a меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби ,  новая строка a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби  конец системы . конец совокупности . равносильно a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если 3a=5 минус 3a, откуда a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби . При данном значении a оба уравнения прнимают вид:

|x плюс 2| плюс \left|x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби |= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби

Данное уравнение не имеет решений.

То есть исходное уравнение не имеет решений при a равном  дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби .

Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при a\n левая круглая скобка минус бесконечность , дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность , дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Приведём другое решение:

 

Пусть t=|x плюс 2| плюс |x минус a|, тогда исходное уравнение принимает вид:

t в квадрате минус 5t плюс 3a левая круглая скобка 5 минус 3a правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=3a,t=5 минус 3a конец совокупности

откуда

 совокупность выражений |x плюс 2| плюс |x минус a|=3a,|x плюс 2| плюс |x минус a|=5 минус 3a. конец совокупности левая круглая скобка * правая круглая скобка

Прямые x= минус 2 и a=x (изображены красным пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.

I случай: x\geqslant минус 2 и x больше или равно a. Получаем

 совокупность выражений x плюс 2 плюс x минус a=3a,x плюс 2 плюс x минус a=5 минус 3a конец совокупности . равносильно совокупность выражений a=0,5x плюс 0,5,a= минус x плюс 1,5. конец совокупности .

II случай: x\geqslant минус 2 и x меньше или равно a. Тогда

 совокупность выражений x плюс 2 минус x плюс a=3a,x плюс 2 минус x плюс a=5 минус 3a конец совокупности . равносильно совокупность выражений a=1,a=0,75. конец совокупности .

III случай: x\leqslant минус 2 и x меньше или равно a. Совокупность принимает вид

 совокупность выражений минус x минус 2 минус x плюс a=3a, минус x минус 2 минус x плюс a=5 минус 3a конец совокупности . равносильно совокупность выражений a= минус x минус 1,a=0,5x плюс 1,75. конец совокупности .

IV случай: x\leqslant минус 2 и x больше или равно a. Получаем

 совокупность выражений минус x минус 2 плюс x минус a=3a, минус x минус 2 плюс x минус a=5 минус 3a конец совокупности . равносильно совокупность выражений a= минус 0,5,a=3,5. конец совокупности .

Графиком совокупности (⁎) являются две ломаные (изображены синим).

Значит, при a меньше 0,75 или a больше 1 исходное уравнение имеет два решения, при a=0,75 или a=1 исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 0,75 меньше a меньше 1 исходное уравнение не имеет решений.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность , 0,75 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1, плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Обосновано получен ответ отличающийся от верного только исключением и/или включением ГРАНИЧНЫХ точек

ИЛИ

Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу.

3
С помощью верного рассуждения получены искомые значения a, возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной t.2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графика функций |x плюс 2| и |x плюс a| минус b.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 1., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром