Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 510853

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38?

б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть k — число посетителей, проголосовавших за футболиста. Заметим, что рейтинг футболиста будет равен 38, если доля голосов, отданных за него, лежит в пределах от 37,5% до 38,5%. Таким образом, получаем двойное неравенство:

 дробь: числитель: 37,5, знаменатель: 100 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 11 конец дроби меньше дробь: числитель: 38,5, знаменатель: 100 конец дроби равносильно 4,125 меньше или равно k меньше 4,235.

Число k — целое, следовательно, оно не может лежать в полученном интервале.

б) Пусть число проголосовавших равно 999. Из них за первого футболиста — 332 человека, за второго — 333, за третьего — 334. Тогда рейтинги каждого из них равны 33%.

в) Пусть k — число голосов, отданных за футболиста, включая Васин голос, n — общее число голосов. Заметим, что после того как Вася отдал свой голос за данного футболиста, доля голосов, отданных за этого футболиста увеличилась, а рейтинг нет, получаем:

 дробь: числитель: 4,5, знаменатель: 100 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k минус 1, знаменатель: n минус 1 конец дроби меньше дробь: числитель: k, знаменатель: n конец дроби меньше дробь: числитель: 5,5, знаменатель: 100 конец дроби .

 

Представляя в виде системы двух неравенств получим:

 система выражений дробь: числитель: 9, знаменатель: 200 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k минус 1, знаменатель: n минус 1 конец дроби , дробь: числитель: k, знаменатель: n конец дроби меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 200 конец дроби конец системы равносильно система выражений 9n минус 9 меньше или равно 200k минус 200,200k меньше 11n конец системы равносильно 9n плюс 191 меньше или равно 200k меньше 11n \Rightarrow n больше 95,5.

Так как n — целое, то n больше или равно 96.

Учитывая, что должны выполняться все неравенства системы, получим:

1055 меньше или равно 9n плюс 191 меньше или равно 200 k \Rightarrow k больше 5,275.

Так как k — целое, то k больше или равно 6.

Тогда из неравенства 200k меньше 11n получаем:

1200 меньше или равно 200k меньше 11n \Rightarrow n больше 109,09...

Следовательно, n больше или равно 110.

При n=110, k=6 условие задачи выполнено. Значит, минимальное число проголосовавших при условиях, данных в задаче равно 110.

 

Ответ: а) нет, б) да, в) 110.

 

Примечание.

Другое решение приведено в задании 505497.

 

----------

Дублирует задание 505475.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 1., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2014
Классификатор алгебры: Числа и их свойства