Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510870

Найдите все значения a, при которых уравнение

 левая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 4a левая круглая скобка логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 3a в квадрате плюс 4a минус 4=0

имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

Пусть t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка , тогда уравнение запишется в виде

t в квадрате минус 4at плюс 3a в квадрате плюс 4a минус 4=0 равносильно совокупность выражений t=3a минус 2, t=a плюс 2. конец совокупности

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =3a минус 2 или  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =a плюс 2.

Исследуем, сколько решений имеет уравнение  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =b в зависимости от a и b. При a не равно 0 и x больше a, и x больше минус a, то есть при x больше |a|, левая часть определена и принимает вид

 логарифм по основанию 6 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс a, знаменатель: x минус a конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2a, знаменатель: x минус a конец дроби правая круглая скобка .

При x больше |a| выражение 1 плюс дробь: числитель: 2a, знаменатель: x минус a конец дроби принимает по одному разу все значения из промежутка  левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка для a больше 0 и принимает по одному разу все значения из промежутка  левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка для a меньше 0. Значит, при x больше |a| выражение  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2a, знаменатель: x минус a конец дроби правая круглая скобка принимает по одному разу все значения из промежутка  левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка при a больше 0 и принимает по одному разу все значения из промежутка  левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка при a меньше 0. Таким образом, уравнение  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =b имеет одно решение при ab больше 0 и не имеет решений при a не равно 0 и ab меньше или равно 0. При a=0 и x больше 0 уравнение принимает вид 0=b и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнение  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =3a минус 2 и  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =a плюс 2 могут иметь общие решения при 3a минус 2=a плюс 2, то есть при a=2. При a=2 оба уравнения принимают вид  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =4 и имеют одно решение.

При других значениях a исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =3a минус 2 и логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =a плюс 2 имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

 система выражений левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка a больше 0, левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка a больше 0 конец системы равносильно совокупность выражений a меньше минус 2,a больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при a принадлежащем множеству  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

----------

Дублирует задание 505426.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек а = −2 и/или a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . 3
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка или  левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка ; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки a=2.2
Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества а: а = −2 или a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

ИЛИ

Получено хотя бы одно из уравнений  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =3a минус 2 или  логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка минус логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка =a плюс 2.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 302., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром