В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K, так что AK : KB = 5 : 1.
а) Докажите, что объем пирамиды делится плоскостью MKC в отношении 5 : 1.
б) Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MC. Найдите угол между плоскостями MLC и MBC, где L — середина AB.
а) а) Объем пирамиды равен произведению высоты на одну треть площади основания. Заметим, что у пирамид AKCM и BKCM общая высота, проведенная из вершины M. Основания этих пирамид — треугольники AKC и BKC соответственно. У этих треугольников, в свою очередь, общая высота, проведенная из вершины C, поэтому их площади относятся как 
Следовательно, так же относятся и объемы пирамид AKCM и BKCM.
б) В прямоугольных треугольниках MKL и CKL сторона KL — общая и 
Значит, эти треугольники равны и 
Прямоугольные треугольники MBL и CBL равны по двум катетам. Значит, 
Пусть N — середина 
Тогда прямая MC перпендикулярна BN и LN, поэтому искомый угол между плоскостями равен углу 
В прямоугольном треугольнике BNL имеем 
Значит,
Ответ: 