Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 510992

Расстояние между боковыми ребрами AA_1 и BB_1 прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA_1 и CC_1 равно 8. Найдите расстояние от прямой AA_1 до плоскости BC_1C, если известно, что двугранный угол призмы при ребре AA_1 равен 60°.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку ABCA_1B_1C_1 ― прямая призма, ее боковые грани ― прямоугольники, следовательно, расстояние между боковыми ребрами AA_1 и BB_1 равно AB, а расстояние между боковыми ребрами AA_1 и СС_1 равно AC. Кроме того, угол BAC ― линейный угол двугранного угла при ребре AA_1.

Таким образом, AB=5, AC=8, \angle BAC=60 в степени (\circ) .

Пусть отрезок AH ― высота основания ABC (см. рис.). Поскольку AH\perp BC и AH\perp BB_1, то AH\perp (BC_1C), и, значит, длина отрезка AH и есть искомое расстояние от прямой AA_1 до параллельной ей плоскости BC_1C.

Рассматривая треугольник ABC, находим:

BC= корень из (AB в квадрате плюс AC в квадрате минус 2AB умножить на AC умножить на косинус \angle BAC) = корень из (25 плюс 64 минус 2 умножить на 5 умножить на 8 умножить на 0,5) =7.

2S_\Delta ABC=AB умножить на AC умножить на синус \angle BAC=5 умножить на 8 умножить на синус 60 градусов =20 корень из (3) .

AH= дробь: числитель: 2S_\Delta ABC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 20 корень из (3) , знаменатель: 7 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 20 корень из (3) , знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено; а также, если при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: Добровольное тренировочное тестирование Санкт-Петербург 2013.