Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

От­ре­зок KM ― диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, от­ре­зок AK ― об­ра­зу­ю­щая этого ко­ну­са, ко­то­рая в 3 раза боль­ше ра­ди­у­са его ос­но­ва­ния. Хорда ос­но­ва­ния ML со­став­ля­ет с пря­мой KM угол 45°. Через AK про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, па­рал­лель­ной пря­мой ML.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник AKN, где KN - хорда ос­но­ва­ния, па­рал­лель­ная ML, яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са O до плос­ко­сти се­че­ния, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть от­ре­зок KN ― хорда ос­но­ва­ния, па­рал­лель­ная ML. Тогда тре­уголь­ник AKN ока­жет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем, так как плос­кость AKN со­дер­жит пря­мую AK и пря­мую KN, па­рал­лель­ную ML.

 

б)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AB на пря­мую KN. Со­глас­но тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах OB также яв­ля­ет­ся пер­пен­ди­ку­ля­ром к KN, зна­чит, KN\perp левая круг­лая скоб­ка ABO пра­вая круг­лая скоб­ка . Вы­со­та OC тре­уголь­ни­ка ABO лежит в плос­ко­сти ABO, сле­до­ва­тель­но, OC\perp AB и OC\perp KN, зна­чит, OC\perp левая круг­лая скоб­ка AKN пра­вая круг­лая скоб­ка .

Далее на­хо­дим:

1)  из усло­вия KN||ML: \angle NKM=\angle KML=45 гра­ду­сов;

2)  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KON: OB= дробь: чис­ли­тель: KO ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

3)  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AKO: AO в квад­ра­те =AK в квад­ра­те минус KO в квад­ра­те =9R в квад­ра­те минус R в квад­ра­те =8;

4)  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABO:

а)  AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: OB в квад­ра­те плюс AO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

б)  OC= дробь: чис­ли­тель: OB умно­жить на OA, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке Санкт-Пе­тер­бург 2014. Ва­ри­ант 2
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025