Сто­и­мость про­езд­но­го би­ле­та на месяц со­став­ля­ет 720 руб­лей, а сто­и­мость би­ле­та на одну по­езд­ку  — 19 руб­лей. Аня ку­пи­ла про­езд­ной и сде­ла­ла за месяц 46 по­ез­док. На сколь­ко руб­лей боль­ше она бы по­тра­ти­ла, если бы по­ку­па­ла би­ле­ты на одну по­езд­ку?

В ма­га­зи­не вся ме­бель продаётся в разо­бран­ном виде. По­ку­па­тель может за­ка­зать сбор­ку ме­бе­ли на дому, сто­и­мость ко­то­рой со­став­ля­ет 20% от сто­и­мо­сти куп­лен­ной ме­бе­ли. Шкаф стоит 4000 руб­лей. Во сколь­ко руб­лей обойдётся по­куп­ка этого шкафа вме­сте со сбор­кой?

На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трёх суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время, по вер­ти­ка­ли  — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­ра­ми воз­ду­ха 24 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

В трёх са­ло­нах со­то­вой связи один и тот же те­ле­фон продаётся в кре­дит на раз­ных усло­ви­ях. Усло­вия даны в таб­ли­це.

Опре­де­ли­те, в каком из са­ло­нов по­куп­ка обойдётся де­шев­ле всего (с учётом пе­ре­пла­ты). В ответ за­пи­ши­те эту сумму в руб­лях.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 12. DE ― сред­няя линия этого тре­уголь­ни­ка, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABDE.

По от­зы­вам по­ку­па­те­лей Иван Ива­но­вич оце­нил надёжность двух ин­тер­нет-⁠ма­га­зи­нов. Ве­ро­ят­ность того, что нуж­ный товар до­ста­вят из ма­га­зи­на А, равна 0,8. Ве­ро­ят­ность того, что этот товар до­ста­вят из ма­га­зи­на Б, равна 0,9. Иван Ива­но­вич за­ка­зал товар сразу в обоих ма­га­зи­нах. Счи­тая, что ин­тер­нет-⁠ма­га­зи­ны ра­бо­та­ют не­за­ви­си­мо друг от друга, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ни один ма­га­зин не до­ста­вит товар.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в изоб­ра­жен­ный на ри­сун­ке тре­уголь­ник ABC, счи­тая сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток рав­ны­ми 1.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те  где   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции 

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 38. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку, ши­ри­на ко­то­рой а ско­рость те­че­ния так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где   — ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние дви­же­ния ка­те­ра (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 60 с?

Най­ди­те угол ABD₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ , в ко­то­ром AB  =  5, AD  =  4, AA₁  =  3. Ответ дайте в гра­ду­сах.

До­ро­га между пунк­та­ми А и В со­сто­ит из подъёма и спус­ка, а её длина равна 19 км. Ту­рист прошёл путь из А в В за 13 часов. Время его дви­же­ния на спус­ке со­ста­ви­ло 6 часов. С какой ско­ро­стью ту­рист шёл на спус­ке, если ско­рость его дви­же­ния на подъёме мень­ше ско­ро­сти дви­же­ния на спус­ке на 1 км/ч?

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

От­ре­зок KM ― диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са, от­ре­зок AK ― об­ра­зу­ю­щая этого ко­ну­са, ко­то­рая в 3 раза боль­ше ра­ди­у­са его ос­но­ва­ния. Хорда ос­но­ва­ния ML со­став­ля­ет с пря­мой KM угол 45°. Через AK про­ве­де­но се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, па­рал­лель­ной пря­мой ML.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник AKN, где KN - хорда ос­но­ва­ния, па­рал­лель­ная ML, яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са O до плос­ко­сти се­че­ния, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Дан рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AC. Впи­сан­ная в него окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су угла B в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки PQ и OC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OBC, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2m.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний.

Коля мно­жил не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число на со­сед­нее на­ту­раль­ное число, и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное m. Вова умно­жил не­ко­то­рое чет­ное на­ту­раль­ное число на со­сед­нее чет­ное на­ту­раль­ное число и по­лу­чил про­из­ве­де­ние, рав­ное n.

а)  Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 6?

б)  Может ли мо­дуль раз­но­сти чисел m и n рав­нять­ся 13?

в)  Какие зна­че­ния может при­ни­мать мо­дуль раз­но­сти чисел m и n?