Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.
а) Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2m.
Пусть отрезок BD — высота данного треугольника. Тогда O ∈ BD в силу того, что ABC — равнобедренный треугольник. Введем следующие обозначения: ∠BCO = ∠DCO = α, ∠COP = x, ∠OPQ = y. Прямоугольные треугольники BOP и BCD подобны, следовательно, ∠BOP = 2α. Из прямоугольного треугольника OPC находим 
а из равнобедренного треугольника OPQ находим 
Углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, значит, отрезки PQ и OC параллельны, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD. Следовательно,
откуда BC = 3DC = 3m.
CP = DC = m, значит, BP = 2m и, следовательно,
откуда 
По формуле Герона находим:
откуда 
Ответ: 