В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 8 и BD = 6.
а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC, если известно, что боковое ребро призмы равно 12.
а) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Выпишем координаты нужных точек и найдем координаты векторов 
и 
Найдем скалярное произведение векторов и 
Значит, 
Отсюда: 
что и требовалось доказать.
б) Согласно данным задачи: 
Найдем координаты вектора 
который перпендикулярен как к вектору 
так и к вектору Очевидно, скалярные произведения каждой такой пары равны нулю: 
т. е.
Итак, 
Заменим этот вектор ему коллинеарным 
поделив каждую координату вектора 
на z: 
Теперь составим уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору 
и проходящей через любую точку прямой 
Искомое уравнение будет иметь вид: 
где 
— соответствующие координаты вектора 
— координаты любой точки прямой Пусть такой точкой будет точка 
Тогда:
Расстояние 
между скрещивающимися прямыми 
и AC вычислим как расстояние между любой точкой прямой AC и найденной плоскостью. В качестве названной точки выберем точку 
Ответ: б) 