Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC = 8 и BD = 6.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BD₁ и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BD₁ и AC, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро приз­мы равно 12.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

К двум окруж­но­стям с цен­тра­ми O₁ и O₂ и ра­ди­у­са­ми 6 и 3 про­ве­де­ны три общие ка­са­тель­ные: одна внут­рен­няя и две внеш­них. Пусть A и B  — точки пе­ре­се­че­ния общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной с об­щи­ми внеш­ни­ми.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка O₁AO₂B можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей с их общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной, если из­вест­но, что O₁O₂  =  15.

Два ве­ло­си­пе­ди­ста рав­но­мер­но дви­жут­ся по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным до­ро­гам по на­прав­ле­нию к пе­ре­крест­ку этих дорог. Один из них дви­жет­ся со ско­ро­стью 40 км/ч и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 5 км от пе­ре­крест­ка, вто­рой дви­жет­ся со ско­ро­стью 30 км/⁠ч и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 3 км от пе­ре­крест­ка. Через сколь­ко минут рас­сто­я­ние между ве­ло­си­пе­ди­ста­ми ста­нет наи­мень­шим? Ка­ко­во будет это наи­мень­шее рас­сто­я­ние? Счи­тай­те, что пе­ре­кре­сток не T-⁠об­раз­ный, обе до­ро­ги про­дол­жа­ют­ся за пе­ре­крест­ком.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Может ли сумма трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где n>1) рав­нять­ся

а)  1,1;

б)  0,5;

в)  1,05?