Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 511234

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Считайте, что перекресток не T-образный, обе дороги продолжаются за перекрестком.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим буквой t время, прошедшее с начального момента времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, то расстояние между ними может быть вычислено по теореме Пифагора. Рассмотрим f (t) — квадрат длины в каждый момент времени, тогда:

f(t)=(5 минус 40t) в квадрате плюс (3 минус 30t) в квадрате =

=25 минус 400t плюс 1600t в квадрате плюс 9 минус 180t плюс 900t в квадрате =2500t в квадрате минус 580t плюс 34.

Итак, f(t)=2500t в квадрате минус 580t плюс 34,t больше или равно 0. У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при t_0= дробь: числитель: 580, знаменатель: 2 умножить на 2500 конец дроби = дробь: числитель: 29, знаменатель: 250 конец дроби ч.= дробь: числитель: 29, знаменатель: 250 конец дроби умножить на 60мин=6 дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби мин. Найдем его:

f левая круглая скобка дробь: числитель: 29, знаменатель: 250 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 минус 40 умножить на дробь: числитель: 29, знаменатель: 250 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус 30 умножить на дробь: числитель: 29, знаменатель: 250 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =

= левая круглая скобка 5 минус дробь: числитель: 116, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 87, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате .

Таким образом, минимальное расстояние между велосипедистами равно  корень из (f левая круглая скобка дробь: числитель: 29, знаменатель: 250 конец дроби правая круглая скобка ) = корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби км, и будет достигнуто через 6 дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби мин.

 

Ответ: 6 дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби мин,  дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби км.

 

Примечание.

Условие уточнено редакцией Решу ЕГЭ.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 124.
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Олег Цимбалист 19.12.2017 13:07

В условии сказано, что велосипедисты движутся по направлению к перекрестку и ничего не сказано, куда они будут двигаться, достигнув этого перекрёстка, и будут ли вообще куда-то двигаться. И даже продолжается ли каждая из дорог после этого перекрёстка нам тоже неизвестно (бывают ведь и Т-образные перекрёстки). И остаются ли они на этом продолжении, если таковое имеется, по-прежнему взаимно перпендикулярными.

На мой взгляд, правильным решением будет тот момент, когда второй велосипедист достигнет перекрёстка, то есть через шесть минут. Ведь именно в этот момент они оба ещё двигались по направлению к перекрестку. К этому моменту первый велосипедист будет на расстоянии 1 км от перекрёстка и от второго велосипедиста. То есть при решении задачи минимум функции f(t) следует искать на отрезке от 0 до 0,1 часа. В предложенном же на сайте варианте решения второй велосипедист уже почти целую минуту движется по направлению от перекрестка, что не соответствует условию задачи.

Замечу ещё, что «два велосипедиста», на мой взгляд, не соответствует нормам правописания в русском языке: правильно - «двое велосипедистов». Сорри за занудство.