К двум окружностям с центрами O1 и O2 и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B — точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.
а) Докажите, что около четырехугольника O1AO2B можно описать окружность.
б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O1O2 = 15.
а) Пусть: F и E — общие точки окружности с центром O2 и общих внешних касательных, G и H — общие точки другой заданной окружности и тех же внешних касательных, N и Q — общие точки заданных окружностей и общей внутренней касательной; T — точка пересечения O1O2 и AB.
Соединим отрезками точки O1 и A, O2 и B. Заметим, что:
AO1 есть биссектриса угла HAB, AO2 — биссектриса угла EAB. А эти углы являются смежными. Так как биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны, то ∠O1AO2 = 90°. Аналогично докажем, что ∠O1BO2 = 90°. Таким образом, получаем , что сумма одной пары противоположных углов четырехугольника O1AO2B равна 180°. Коли это так, то сумма и другой пары противоположных углов того же четырехугольника обязана быть равной 360° − 180° = 180°. То есть выполняется признак вписанного четырехугольника, что и требовалось доказать.
б) Заметим, что O1Q || O2N как два перпендикуляра к одной и той же прямой AB.
Рассмотрим Δ O1QT и Δ O2NT. Они прямоугольны, у них: ∠QTO1 = ∠NTO2 как вертикальные, ∠QO1T = ∠NO2T как внутренние накрест лежащие при параллельных O1Q, O2N и секущей O1O2. Значит, Δ O1QT ~ Δ O2NT, 
Пусть 
тогда 
В 
В 
Ответ: б) 12.