СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511268

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.

а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.

Решение.

а) Доплнительные построения и обозначения:

О — центр вписанной окружности; O1 — середина отрезка AB; MN — отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции; ОМ, ОN радиусы вписанной окружности; E — проекции С на АD; K — точка касания первой окружности стороны трапеции CD.

Рассмотрим Δ OMC и Δ ONH. Они прямоугольные, у них: ОМ = ОN как радиусы одной и той же окружности, ∠MOC = ∠NOH как вертикальные. Значит, Δ OMC = Δ ONH, откуда MC = NH.

Имеем: D = KC + KD, DH = DN + NH. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной и той же точки: DN = KD. Прибавим к левой и правой частям этого равенства равные отрезки NH и МС соответственно. Получим верное равенство: DN + NH = KD + MC. В правой части слагаемое МС заменим равным KC. Тогда будем иметь: DN + NH = KD + KC, а это значит, что DH = DC, что и требовалось доказать.

б) В четырехугольник можно вписать окружность только в том случае, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Следовательно, 2AB = AD + BC, т. е. AD + BC = 2 · 2 · 6,5 = 26.

BHAD, так как ∠ AHB = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр второй окружности. CE ⊥ AD по построению, значит, BH||CE. Кроме того, BC||AD по определению трапеции, следовательно, HBCE — прямоугольник, BC = HE, BH = CE.

В прямоугольном треугольнике AHB

Значит, откуда

 

Ответ: 8 и 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.