≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511282

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K — точки касания этой окружности с боковыми сторонами AD и BC. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°.

а) Докажите, что EK параллельно AB.

б) Найдите площадь трапеции ABKE, если радиус окружности равен

Решение.

а) Достроим трапецию до треугольника ASB, S — точка пересечения AD и BC. Поскольку трапеция ABCD — равнобедренная, у Δ ASB все углы окажутся по 60°, а сам треугольник будет правильным.

 

 

Заданная окружность будет вписанной как в трапецию ABCD, так и в Δ ASB, причем, точки E и K будут серединами отрезков AS и BS соответственно. Отсюда KE — средняя линия что и требовалось доказать.

б) Δ KSE ~ Δ BSA с коэффициентом подобия А это значит, что

Пусть Тогда с одной стороны, — со стороны другой. Следовательно,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.