Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вписанная в него окружность с центром O касается боковой стороны BC в точке P и пересекает биссектрису угла B в точке Q.
а) Докажите, что отрезки PQ и OC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника OBC, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2.
Пусть отрезок BD — высота данного треугольника. Тогда 
в силу того, что ABC — равнобедренный треугольник. Введем следующие обозначения: 
Прямоугольные треугольники BOP и BCD подобны, следовательно, 
Из прямоугольного треугольника OPC находим 
а из равнобедренного треугольника OPQ находим 
Углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, значит, отрезки PQ и OC параллельны, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно:
Откуда 
значит, 
и, следовательно:
Откуда 
По формуле Герона находим:
откуда 
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Ларисы Максименко.
Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно:
откуда Тогда
а значит, 
Найдем площадь треугольника BOC как разность площадей треугольников BDC и ODC:
