Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 5 и 15 соответственно, а OK = 8.
а) Пусть
Так как О — центр вписанной окружности треугольника ABC, то АО, ВО — биссектрисы углов А и В, значит, 
Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому 
(см. рис.).
Так как BK = OK (по построению), то 
тогда
Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: 
Тогда по признаку, связанным со свойством вписанных углов, точки А, В, К, С лежат на одной окружности.
б) Обозначим через r, R радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника 
Пусть H — проекция точки О на сторону AB (см. рис.), тогда 
Так как точки А, В, К, С лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABKсовпадает с радиусом описанной окружности треугольника 
и равен R. Из треугольника ABK по теореме синусов:
Тогда
Так как 
то 
Ответ: 18,75.