Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны
O — центр вписанной окружности треугольника ABC, поэтому 
— биссектрисы углов A и B, значит, 
Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому 
(см. рис.).
(по построению), поэтому 
тогда 
Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: 
Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки 
лежат на одной окружности.
радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника 
Пусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда 
Точки 
лежат на одной окружности, поэтому радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника 
и равен 
Из треугольника ABK по теореме синусов:
Тогда
поэтому 
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 5 и 15 соответственно, а OK = 8.
Так как О — центр вписанной окружности треугольника ABC, то АО, ВО — биссектрисы углов А и В, значит, 
Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому 
(см. рис.).
тогда 
Так как точки А, В, К, С лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABKсовпадает с радиусом описанной окружности треугольника 
то 
Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что 
а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 8, а 
тогда 
где H — проекция О на BC. Поэтому 
Из условия 
следует, что 
Тогда 
(опираются на хорду ОС). Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки О, В, К, С лежат на одной окружности.
тогда 
Рассмотрим треугольник ABC. В нем: 
и 
Из пункта а) 
тогда 
Так как четырехугольник OBKC вписанный, получаем:
откуда 