СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 511834

Найдите все значения а, при каждом из которых найдется хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющих системе

Решение.

Будем исходить из таких геометрических соображений. В плоскости (xy) уравнения

задают прямые. Если каждое из этих уравнений разрешить относительно у, то получим:

Угловые коэффициенты этих прямых свидетельствуют, что среди них нет ни одной пары, параллельных друг другу. Каждая из них будет делить плоскость (xy) на две полуплоскости, и лишь одна из них будет удовлетворять соответствующему неравенству. Пересечением таких пригодных полуплоскостей будет некоторый треугольник. Найдем координаты вершин этого треугольника.

 

 

Итак,

 

 

;

 

 

Четвертое условие исходной системы задает уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным Система будет иметь непустое решение, если найдется хотя бы одна общая точка этой окружности и части плоскости, отсекаемой от нее треугольником ABC.

Исходя из геометрических соображений (см. рис.), сделаем вывод: параметр а будет принимать все значения из числового отрезка, левый конец которого будет равен квадрату длины отрезка OD, а правый конец — квадрату длины OB. (ODOC).

Ясно, что

Треугольник AOC оказался равнобедренным. Отсюда:

Итак, имеем:

 

Ответ:

 

 

Замечания:

1. При решении систем двух линейных уравнений с двумя переменными необходимости в использовании определителей второго порядка нет. Решения могут найдены другими методами, известными с 8 класса. Определители как второго, так и третьего порядка в учебнике М. И. Шабунина и А. А. Прокофьева имеются.

2. При нахождении длины отрезка OD можно было бы использовать и условие перпендикулярности двух векторов, в частности, вектора и вектора обозначив координаты точки D какими-либо буквами.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.